Понимание функциональной зависимости
В соответствии с требованиями ФГОС необходимо, чтобы выпускники умели описывать реальные зависимости, а для этого они должны овладеть системой функциональных понятий.
Начиная с 7 класса, ученики изучают линейную функцию, ее свойства и график; квадратичную функцию и ее график. В 9 классе они уже непосредственно изучают понятие «функция».
Тема «Функция» трудно осваивается школьниками и в 7, и в 9 классах. Они не понимают, почему в одних случаях говорится «уравнение», в других – «формула», а в третьих – «функция».
В учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра, 9 класс» дается такое определение: «Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у».
Рассмотрим пример организации понимания отношения зависимости одной величины от другой.
В физике дается следующее определение зависимости: событие А является зависимым от другого события В, если оно не происходит до тех пор, пока не произойдет событие В. Например, чем дольше будет идти дождь, тем сильнее намокнет земля. Эта зависимость не задается математическими формулами, она может быть только описана. Есть много зависимостей, которые не описываются математическими символами, но каждый раз, когда мы определяем взаимоотношение двух объектов как зависимость, мы можем представить прибор, похожий на безмен. Прибор показывает зависимость с помощью стрелки, которая движется вдоль двух параллельных шкал. Если основание стрелки установить на какое-либо значение независимой величины, то острие стрелки будет указывать на значение зависимой величины.
Рассмотрим другой пример. При покупке конфет по 20 рублей за килограмм (будем говорить только о конфетах такой цены) стоимость покупки будет однозначно зависеть от веса купленных конфет. Например, если вес увеличится в два раза, то и стоимость тоже увеличится в два раза.
На схеме представлена зависимость стоимости продукта от его веса.
Может ли отличаться стоимость покупки, которую высчитывает продавец, от стоимости, которую высчитал за тот же вес конфет покупатель? Конечно нет. В этом случае или продавец, или покупатель ошибся.
От чего будет зависеть стоимость конфет? Стоимость купленных конфет зависит только от веса. Вес мы можем называть продавцу произвольно, в зависимости от нашего желания, но каждому весу будет соответствовать единственное значение стоимости. Другими словами, чтобы ответить на вопрос о стоимости конфет, необходимо знать, каков их вес.
Зависимости могут быть более сложными. Бывает, что увеличение одного параметра влечет за собой уменьшение другого. Важно при определении зависимого параметра следовать правилу, определяющему соответствие. Рассмотрим это на примере.
Для вычисления времени нахождения в пути при неизменном расстоянии, но разных скоростях пользуются формулой скорости. Очевидно, что на велосипеде можно преодолеть данный путь быстрее, чем пешком, а на машине – быстрее, чем на велосипеде. Другими словами: чем больше скорость, тем меньше потребуется времени на преодоление одного и того же расстояния.
Можно сказать, что зависимость – это «привязанность» двух параметров. На нашей схеме каждому значению левой шкалы с помощью стрелки устанавливается соответствующее значение на правой шкале.